Updated at 2021.5.25 Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Stirling Formula

$N! = 1\times 2\times \cdots \times N$ 으로 $N$ 이 10 정도만 되어도 매우 크다. 확률에서 많이 나타나는 이 값을 $N$ 이 클 때 근사하는 방법이 있다.

계승이란?

계승(팩토리얼)은 자연수에 대해서 1부터 어떤 자연수 N까지의 연속되는 자연수를 모두 곱한 것으로 $N!$ 로 표현한다. 예외로 $0!$ 은 1로 정한다. 참고로, 이 계승의 개념을 실수와 복소수까지 확장시킨 함수가 감마함수(gamma function)이다.

$$\begin{align}N! = N(N-1)(N-2)\cdots (2)(1)\end{align}$$

으로 N이 크면 이 값이 매우 커진다. 예를 들어

• 10! = 3,628,800이고,
• 100! = 9.33262154439441E+157 이다.

계승은 경우의 수를 구하는 통계, 물리학 등에 자주 나타난다. 하지만 계승 자체로는 수학적으로 다루기 까다롭다.

스털링의 아이디어

Stirling(1730)이라는 사람이 유용한 공식(formula)를 만들었는데 다음과 같다. 이러한 근사 아이디어는 꼭 알아둘 필요가 있어 여기에 소개한다.

$$\begin{align}\ln N! = \sum_{m=1}^{N} \ln m\end{align}$$

m이 커지면 이 합(sum)은 적분(integral)으로 근사할 수 있다.

$$\begin{align}\ln N! &\approx \int_{1}^{N} \ln m \, dm \\ &= \left | m \ln m - m \right |_{1}^{N}\end{align}$$

$N \gg 1$ 이면 최종적으로,

$$\begin{align}\red{\ln N! \approx N \ln N - N}\end{align}$$

좀 더 엄밀한 근사

감마함수를 이용하여 좀 더 정확한 근사 공식을 유도해 보자.

$$\begin{align}\Gamma(N+1) = N! = \int_0^{\infty} {x^N e^{-x} dx}\end{align}$$

식(6)를 약간 변형하고 $x = Ny$ 로 치환하면,

$$\begin{align}\begin{split}N! &= \int_0^{\infty} {e^{N \ln x -x} dx} \\&= e^{N \ln N} N \int_0^{\infty} {e^{N (\ln y -y)} dy}\end{split}\end{align}$$

식(7)의 적분은 쉽지 않지만, 라플라스 방법(Laplace's Method)을 이용하면 하기 식을 구할 수 있다.

$$\begin{align}\begin{split}N! &\sim e^{N \ln N} N \sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N} \\&= \sqrt{2\pi N} \left ( \frac{N}{e} \right )^N\end{split}\end{align}$$

따라서 최종 식은 다음과 같다.

$$\begin{align}\red{\ln {N!} \sim N \ln N - N + \frac{1}{2} \ln {(2\pi N)}}\end{align}$$

계승과 스털링 근사값 비교

New Version

식(9)은 $N = 4$ 이상부터는 오차가 1% 이하로 매우 정확한데, 단순 버전인 식(5)은 $N = 5$ 이하에서는 오차가 매우 크고, $N = 10$ 일 때도 오차가 16% 수준이다. 하지만 $N$ 이 매우 크면 그 비가 1로 수렴함을 알 수 있다. 아래에 1부터 10,000 사이의 값을 넣어 보기 바랍니다.

Old Version

• Diff: $\ln N! - (N \ln N - N)$
• Ratio: $\frac{\ln N!}{N \ln N - N}$

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